只用自己国家所谓的教授编著的教材，而不是放开胸怀用已经公开是非常好的教材国家，教育是很难上去的。
不知那些教材编著者读书的时候是用的什么教材，有没有为遇到一本好书而乐，然后对学校安排教材而懊恼。然后自己又去埋葬下一代。
以前就想不明白，为什么教材不是那些翻译的国外非常好的教材。有一天突然明悟，那些人不是中国人。教材都用外国人的，是不是说不过去。但是，你不用就永远超越不了QAQ
推荐一本教材：Linear Algebra and It’s Applications
线性变换
在细说线性变换之前呢，笼统的说一下有关的重要概念，或者改成通俗更好，笼统显得好水╮(╯-╰)╭
对于一个变换（映射或函数）\(\small T(x)\)是将一个三维向量空间中的向量变为一个二维向量空间中的函数，那么三维的向量空间就是它的定义域，而二维向量空间是它的余定义域（取值范围），而通过它所能变换得到的所有向量组成了这个变换的值域。而 \(x\) 经过变换得到的 \(\small T(x)\) 成为向量 \(x\) 的像。
投影变换
投影的定义维基百科中说的很清楚，是将向量空间映射到自身的子空间的一种线性变换。并且，在这个子空间中的向量在经过这种变换后还是该向量，也就是说这个线性变换在这个子空间中是恒等变换。
举个栗子，若 \(\mathbf {A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)，则变换 \(\small x \mapsto Ax\) 把 \(\small \mathbb{R}^3\) 中的点投影到 \(x_1x_2\) 坐标平面上，因为
\[\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{bmatrix}\]而且，投影变换在子空间上是很等的，即
\[\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{bmatrix}\]投影变换也就是向量空间在某一维上坍缩了！向量空间的概念很重要，一般说向量很自然的就是说我们现在处在一个向量空间当中。
注：一个线性变换 \(\small P\) 是投影变换，当且仅当 \(\small P^2 = P\)。
剪切变换
\(\boldsymbol u = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}\) 的像 \(T(\boldsymbol u) = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \end{bmatrix}\)
现在，考虑 \((0,0), (2,0), (0,2), (2,2)\) 四个点组成的正方形，这个正方形经过上面的 \(\small T\) 变换后就变成了平行四边形（书上的栗子,没找到原图），下面这张图很好的说明了横向剪切变换，不过点可能不一样，并且更好。
可以看到，变换同样使得图中黑点出纯蓝色正方形变成了纯绿色平行四边形。需要注意的是图中有个大的蓝色网格正方形变成了绿色网格正方形，黑点上方是向左做平移下方是向右平移。并且，变换只是对原来的图形做剪切、移动、粘贴，图形的面积并没有改变。
拉伸变换
拉神变化自然和特征向量有关联了。
旋转变换
rotation by angle \(\theta\) counterclockwise: \(\begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}\)
那么逆时针旋转 \(90^\circ\) 的矩阵带入就得到了。
小结
本来是想把这本书仔细看完，但是考虑时间问题，选择了寒假期间看网易公开课的视频麻省理工公开课：线性代数。讲师是Gilbert Strang，一位享有盛誉的数学家（网易说的^_^）。讲课很有趣，对于虽是渣渣但是经历过考研的我来说，感觉看视频过程中难度不大，但是有些精髓需要后来细想。线性子空间让我感觉非常happppppy！不过感觉G大课程中一直没有说何为线性变换（可能是语言因素，或者我有硬伤QAQ）。不过课程中渐渐理解，线性变换是从一个线性空间到一个线性空间的变换（没有说非得另一个哦）。ps:我能说当时看这个视频就是为了找到一个可以说服自己的线性变换的解释么，谁知收获颇多！上面只是自己的理解，如果错了，请您万望告知，定当感激不尽！
现在已经没有了当初看见线代惟有夜阑卧听风吹雨的无奈，有一种铁马冰河驰骋疆场的豪情（又搁这瞎bibi）。总之，线代有点入门了呢！
各位童鞋，既然已经看过了G大大的线性代数何不在看看麻省理工学院公开课：微积分重点。同样是Gilbert Strang的课程，只有18讲却根本性的解决了多个我在本科残留的疑问，比如为什么牛顿-莱布尼茨公式成立、欧拉方程、微分方程求解！！！本科不会只能怪老夫当时没听课好了。
其实，MIT的18.0*课程网易云应该都有，有时间真应该多多学习！
